高中数学立体几何问题 最好能帮我画图写下步骤 谢谢

Question

知空间四边已形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点FG是BCCD上的点且cf/cb=cg/cd=2/3 求证三线ef,gh,ac交与一点

Answer 1

已知空间四边形ABCD中，E,H分别为AB,AD的中点，F,G分别为为BC,CD上的点，且CF/CB=CG/CD=2/3，（1）求证：E,F,G,H共面；（2）求证：EF,GH,AC交于一点。

(1)证明：在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和AD的中点，∴EH//BD,EH=BD/2

又∵CF/CB=CG/CD=2/3，，∴FG//BD,FG=2BD/3

∴EH∥FG
所以，E、F、G、H四点共面．

(2)证明：∵EH∥FG，且EH≠FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
∴它们的延长线必相交于一点P
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3（经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面）知P∈AC．
∴三条直线EF、GH、AC交于一点

Answer 2

设直线EF与AC交于P点，取BC的中点M，连接MA,

∵CF/CB=2/3，CM=MF，∴CM=MF=FB，

∵E是AB的中点，EF是⊿BMA的中位线，∴MA∥FE,

∵CM=MF,MA∥FE,∴AQ=CA.。

同样，设直线GH与AC交于Q点，取CG的中点N，连接NA,

可证AQ=CA,

∵P、Q都在线段CA的延长线上且AP=AQ,∴P、Q是同一点，

就是说，直线EF、AC和GH汇交于一点。