已知函数y=1/2cosx+1/2|cosx|

Question

已知函数y=1/2cosx+1/2|cosx|
（1）他的最小正周期
（2）画出它的简图。
（3）指出他的单调增区间。

Answer 1

（1）当0=<cosx<=1时，即2kπ-π/2<=x<=2kπ+π/2(k为整数），此时

y=(1/2)cosx+(1/2)=cosx,此时最小正周期为2π。

当-1<=cosx<0时，即2kπ+π/2<=x<2kπ+3π/2(k为整数），此时

y=(1/2)cosx-(1/2)cosx=0,此时没有周期。

（2）其图像如图。图像的形状是x轴上方仍为余弦函数的部分，在x轴下方的则被重合与x轴的线段表示，因此时函数值为0。

（3）其单调区间情况如下：

在区间2kπ+π/2<=x<2kπ+3π/2上时，y恒为0，为不增不减函数，

在区间2kπ-π/2<=x<=2kπ上时，函数为增函数，故为增区间；

在区间2kπ<x<=2kπ-π/2上时，函数为减函数，故为减区间。

Answer 2

去绝对值, 是分段函数
y = (1/2)(cosx + |cosx|)

1、当 2kπ - π/2 < x < 2kπ + π/2 (k∈Z)时，cosx > 0，即

y = (1/2)(cosx + |cosx|)

= (1/2)(cosx + cosx)

= cosx

2、当 2kπ + π/2 < x < (2k + 1)π - π/2 (k∈Z)时，cosx < 0，即

y = (1/2)(cosx + |cosx|)

= (1/2)(cosx - cosx)

= 0

所以该函数的增区间是:[2kπ - π/2，2kπ]，减区间是:[2kπ，2kπ + π/2]
最小正周期是2π