高数,求这个定积分

如题所述

第1个回答  2014-12-16

第2个回答  2014-12-16
换元。。。令x=asint。。。记得也要换限啊追问

我还没学到定积分。。。是朋友问的,望详解

追答

第3个回答  2014-12-16
先求不定积分:
令x = asinθ,dx = acosθ dθ,√(a² - x²) = √(a² - a²sin²θ) = √(a²cos²θ) = acosθ
∫ x²√(a² - x²) dx
= ∫ a²sin²θ • acosθ • acosθ dθ
= a⁴∫ sin²θcos²θ dθ
= a⁴∫ (1/2 • sin2θ)² dθ
= (a⁴/4)(1/2)∫ (1 - cos4θ) dθ
= (a⁴/8)(θ - 1/4 • sin4θ) + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) - (a⁴/8)sinθcosθ(cos²θ - sin²θ) + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) - (a⁴/8)(x/a)[√(a² - x²)/a][(a² - x²)/a² - x²/a²] + C
= (a⁴/8)arcsin(x/a) + (x/8)(2x² - a²)√(a² - x²) + C
代值进去:
=a⁴π/16本回答被提问者采纳
第4个回答  2014-12-16