n次根号n的极限为什么是1呢？

Question

如题所述

Answer 1

因为n的阶乘的增长率快于指数函数。而指数函数与n次根号下相抗衡。而自然数列或者幂函数的增长率慢于指数函数。所以n次根号下n和n次根号下n的次方都趋于1。 lim(n∞)n次根号下(a^n)=a。 阶乘快于指数函数，因为n！≈(1/e×n)^n，n可以无限变大。所以lim(n∞)n次根号下n！=1/e×n=∞。 而n的1/n次方(n次根号下n)=n^2的1/2n次方=n^x的1/xn次方>n^x的1/n^x次方(n>e，x>1时)。 n^x增长率远快于xn。所以n∞，n次根号n的极限是1。