椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2.过F1的直线l与椭圆交于A,B两点

Question

（1）如果点A在圆X^2+Y^2=C^2(C为椭圆的办焦距）上，且|F1A|=C,求椭圆的离心率
（2）若函数y=根号2+以m为底X的对数（m>0,m不等于1）的图像，无论m为何值时恒过定点（b,a)，求向量F2B乘向量F2A的取值范围

Answer 1

解：
(1)
∵点A在圆x²＋y²＝c²上
∴△AF1F2为一直角三角形
∵|F1A|＝c，|F1F2|＝2c
∴|F2A|＝√(|F1F1|²－|F1A|²)＝√3c
由椭圆的定义知：
|AF1|＋|AF2|＝2a
c＋√3c＝2a
∴e＝c/a＝2/(1＋√3)＝√3－1

(2)
∵函数y＝√2＋logm(x)的图像恒过点(1，√2)
∴a＝√2，b＝1，c＝1
点F1(－1，0)，F2(1，0)

①若AB⊥x轴，则A(－1，√2/2)，B(－1，－√2/2)
∴向量F2A＝(－2，√2/2)，向量F2B＝(－2，－√2/2)，向量F2A•向量F2B＝4－1/2＝7/2

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y＝k(x＋1)
由
{y＝k(x＋1)
{x²＋2y²－2＝0
消去y得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2(k²－1)＝0 (*)
∵Δ＝8k²＋8＞0
∴方程(*)有两个不同的实根
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)
则x1，x2是方程(*)的两个根
x1＋x2＝－4k²/(1＋2k²)
x1x2＝2(k²－1)/(1＋2k²)
向量F2A＝(x1－1，y1)，向量F2B＝(x2－1，y2)，
向量F2A•向量F2B＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋k²)x1x2＋(k²－1)(x1＋x2)＋1＋k²
＝(1＋k²)[2(k²－1)/(1＋2k²)]＋(k²－1)[－4k²/(1＋2k²)]＋1＋k²
＝(7k²－1)/(1＋2k²)＝7/2－[9/2(1＋2k²)]
∵1＋2k²≥1
∴0＜1/(1＋2k²)≤1，0＜9/[2(1＋2k²)]≤9/2
－1≤向量F2A•向量F2B＝7/2－[9/2(1＋2k²)]＜7/2

由①②知：
－1≤向量F2A•向量F2B＜7/2

Answer 2

(1)√3－1；(2) (－1，9/2)追问

能不能详细一点，有过程的，谢谢。

追答

解：连AF2，因为F1A＝c＝OF1＝OA，所以△OF1A为正三角形，则△F1AF2为直角三角形，F1F2＝2c，AF2＝√3c，即2a＝(1＋√3)c，所以离心率e＝2c/2a＝2/(1＋√3)＝√3－1；
因为函数y＝√2+以m为底X的对数（m>0,m不等于1）的图像，无论m为何值时恒过定点（1，√2)，所以a＝√2，b＝1，则c＝1.椭圆的方程为x^2/2＋y^2＝1，直线AB的方程为x＝my－1，代入并整理得(m^2＋2)y^2－2my－1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2m/(m^2＋2)，y1*y2＝－1/(m^2＋2)，则有x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝m(y1＋y2)－2＝－4/(m^2＋2)，
x1*x2＝(my1－1)*(my2－1)＝m^2*y1*y2－m(y1＋y2)＋1＝(2－2m^2)/(m^2＋2)，
向量F2B·F2A＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝11/(m^2＋2)－1，
当然，当且仅当m＝0时，取最大值9/2，又11/(m^2＋2)＞0，所以11/(m^2＋2)－1＞－1，故其范围为(－1，9/2]。(前面稍微有一些小小的错误)

Answer 3

详见图片

Answer 4

这种题最难了 我就是做也只想做第一问......还是算了吧 没时间 对不住啊