如图,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,过F1的直线L与椭圆相交于A、B两点

Question

（1）若∠AF1F2=60°，且向量AF1·向量AF2=0求椭圆离心率
（2）若a=√2，b=1，求向量F2A·向量F2B的最大值和最小值

Answer 1

（1）AF1⊥AF2
因为|F1F2|=2c，∠AF1F2=60°，所以|AF1|=c，|AF2|=√3c.
由椭圆定义知|AF1|+|AF2|=2a，所以2a=(√3+1)c，e=c/a=√3-1.

（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2). F2(1,0)
设直线AB方程为y=k(x+1)，与x²+2y²=2联立得(2k²+1)x²+4k²x+2k²-2=0

所以x1+x2=-4k²/(2k²+1)，x1x2=(2k²-2)/(2k²+1)，y1y2=-k²/(2k²+1).

F2A·F2B=(x1-1,y1)·(x2-1,y2)=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=(7k²-1)/(2k²+1)

=7/2-9/(4k²+2).
所以当k=0时，上式有最小值-1.
k→+∞时，F2A·F2B→7/2.