微积分基本定理是怎样推导出来的?

Question

那个微积分基本定理:对于被积函数f(x),F'(x)=f(x),∫f(x)dx=F(b)-F(a)
(积分上限为b,下限为a)
这个定理是怎样推导出来的?我要全过程^-^
[顺便说一下,本人正在读高二,老师说这是高等数学的内容,说不要求掌握....]

Answer 1

微积分基本定理推导过程：

原函数，导数和微分之间的关系：

从a到e是连续的，

F(x)是f(x)一个原函数，

从a到b增加了F'(x)*dx,从b到c增加了F'(x)*dx,

这时从a到c就增加了F'(x)*dx+F'(x)*dx，

以此类推，那么函数f(x)的积分就是原函数F(x)的

上限e对应的F(e)减去下限a对应的F(a)的线段长度

Answer 2

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx<a,b>表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt<a,x+Δx> = ∫f(t)dt<a,x> + ∫f(t)dt<x,x+Δx>
= Φ(x) + ∫f(t)dt<x,x+Δx>
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt<x,x+Δx>
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0时，Φ(x+Δx) - Φ(x)->0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数

其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得
f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε
由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立，因此得到
f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε
由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到
f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε
即|μ-f(x)|<=ε
由于Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx，可以得到，当Δx->0时，
Φ'(x) = lim [Φ(x+Δx) - Φ(x)]/Δx = lim μ = f(x)
命题得证。

由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到
Φ(x)=F(x)+C
当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时
Φ(a)=0=F(a)+C
即C=-F(a)
得到
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>，得到
Φ(b)=∫f(x)dx<a,b> = F(b)-F(a)
至此命题得证。

参考资料：数学分析原里

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Answer 3

这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x)
=
∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx<a,b>表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx)
=
∫f(t)dt<a,x+Δx>
=
∫f(t)dt<a,x>
+
∫f(t)dt<x,x+Δx>
=
Φ(x)
+
∫f(t)dt<x,x+Δx>
即
Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
∫f(t)dt<x,x+Δx>
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
μΔx
其中m<=μ<=M，m、M分别为f(x)在[x,Δx]上的最小值和最大值，则当Δx->0时，Φ(x+Δx)
-
Φ(x)->0，即
lim
Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x)
=
f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|<δ时，对于一切的t属于[x,x+Δx]，|f(t)-f(x)|<ε恒成立（根据函数连续的ε-δ定义得到），得
f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε
由于t属于[x,x+Δx]，因此m<=f(t)<=M（m、M的意义同上），由于f(x)-ε<f(t)<f(x)+ε当t属于[x,x+Δx]时恒成立，因此得到
f(x)-ε<=m<=M<=f(x)+ε
由于m<=μ<=M（μ的意义同上），可以得到
f(x)-ε<=μ<=f(x)+ε
即|μ-f(x)|<=ε
由于Φ(x+Δx)
-
Φ(x)
=
μΔx，可以得到，当Δx->0时，
Φ'(x)
=
lim
[Φ(x+Δx)
-
Φ(x)]/Δx
=
lim
μ
=
f(x)
命题得证。
由以上可得，Φ(x)就是f(x)的一个原函数。设F(x)为f(x)的任意一个原函数，得到
Φ(x)=F(x)+C
当x=a时，Φ(a)=0（由定义可以得到），此时
Φ(a)=0=F(a)+C
即C=-F(a)
得到
Φ(x)=F(x)-F(a)
则当x=b时，Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>，得到
Φ(b)=∫f(x)dx<a,b>
=
F(b)-F(a)
至此命题得证。