不一定是对称的。
正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵(共轭对称)。
因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内(实数域上是对称矩阵)。
广义定义:设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。
例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)
正定矩阵有以下性质:
(1)正定矩阵的行列式恒为正;
(2)实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;
(3)若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;
(4)两个正定矩阵的和是正定矩阵;
(5)正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。