正定矩阵一定是对称矩阵吗？

Question

如题所述

Answer 1

不一定是对称的。

正定矩阵在实数域上是对称矩阵。在复数域上是厄米特矩阵（共轭对称）。

因为正定矩阵在定义的时候就是要在厄米特矩阵的域内（实数域上是对称矩阵）。

如果只是要求矩阵M有(x^T)Mx>0,那么任何矩阵M，只要其满足A=(M+M^T）/2，且(x^T)Ax>0,即可。例如，M=[1 -1;1 1] ，A=[1 0;0 1]。但如果M不是厄米特矩阵，一般不讨论他的正定性。

例如：

A=[1 1;-1,1]

这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。

如果一个矩阵A是正定的，那么对称矩阵B=(A+A^T）/2也是正定的，这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。

对于任意对称矩阵B，我们可以对其进行卡氏分解。（请自行证明）

对于复系数矩阵，我们有B=(A+A*）/2为正定矩阵。

扩展资料

正定矩阵有以下性质：

（1）正定矩阵的行列式恒为正；

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

Answer 2

线性代数范围内是的
这是因为矩阵的正定来自于二次型的正定
而二次型的矩阵都是对称矩阵
所以正定矩阵是对称矩阵来自：求助得到的回答本回答被提问者采纳

Answer 3

不一定是对称的，例如：
A=[1 1;-1,1]
这个矩阵满足对于任意实非零向量向量x=(x1,x2)，有x^TAx>0，因此是正定的。
如果一个矩阵A是正定的，那么对称矩阵B=(A+A^T）/2也是正定的，这是判定一个实系数矩阵是否为正定矩阵的充要条件。

对于任意对称矩阵B，我们可以对其进行卡氏分解。（请自行证明）
对于复系数矩阵，我们有B=(A+A*）/2为正定矩阵。

Answer 4

正定矩阵的定义就是讲的对称矩阵，
一般情况下，就应该是对称矩阵。
如果不限制是对称矩阵，来讨论正定，当然也可以，但是这种情况不多见。

Answer 5

有一门学科，叫“线性代数”，在这个框架下，认为正定矩阵一定是对称矩阵。
还有一门学科，叫“矩阵论”，在这个框架下，认为正定矩阵不一定是对称矩阵。
矩阵论可以视作线性代数的高级版。