什么是布尔代数

Question

如题所述

Answer 1

布尔代数起源于数学领域，是一个用于集合运算和逻辑运算的公式：〈B，∨，∧，¬ 〉。其中B为一个非空集合，∨，∧为定义在B上的两个二元运算，¬为定义在B上的一个一元运算。

通过布尔代数进行集合运算可以获取到不同集合之间的交集、并集或补集，进行逻辑运算可以对不同集合进行与、或、非。

中文名：布尔代数
发现者：G.布尔
分类：数学专有名词
学科：高数
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发现历史

发现

英国数学家为了研究思维规律（逻辑学、数理逻辑)于1847和1854年提出的数学模型。此后R.戴

布尔代数
德金把它作为一种特殊的格。

数学家G.布尔
由于缺乏物理背景，所以研究缓慢，到了20世纪30～40年代才有了新的进展，大约在 1935年， M.H.斯通首先指出布尔代数与环之间有明确的联系，这使布尔代数在理论上有了一定的发展。布尔代数在代数学（代数结构）、逻辑演算、集合论、拓扑空间理论、测度论、概率论、泛函分析等数学分支中均有应用；1967年后，在数理逻辑的分支之一的公理化集合论以及模型论的理论研究中，也起着一定的作用。近几十年来，布尔代数在自动化技术、电子计算机的逻辑设计等工程技术领域中有重要的应用。

1835年，20岁的乔治·布尔开办了一所私人授课学校。为了给学生们开设必要的数学课程，他兴趣浓厚地读起了当时一些介绍数学知识的教科书。不久，他就感到惊讶，这些东西就是数学吗？实在令人难以置信。于是，这位只受过初步数学训练的青年自学了艰深的《天体力学》和很抽象的《分析力学》。由于他对代数关系的对称和美有很强的感觉，在孤独的研究中，他首先发现了不变量，并把这一成果写成论文发表。这篇高质量的论文发表后，布尔仍然留在小学教
德·摩根
书，但是他开始和许多第一流的英国数学家交往或通信，其中有数学家、逻辑学家德·摩根。摩根在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论，布尔知道摩根是对的，于是在1848年出版了一本薄薄的小册子来为朋友辩护。这本书是他6年后更伟大的东西的预告，它一问世，立即激起了摩根的赞扬，肯定他开辟了新的、棘手的研究科目。布尔此时已经在研究逻辑代数，即布尔代数。他把逻辑简化成极为容易和简单的一种代数。在这种代数中，适当的材料上的“推理”，成了公式的初等运算的事情，这些公式比过去在中学代数第二年级课程中所运用的大多数公式要简单得多。这样，就使逻辑本身受数学的支配。为了使自己的研究工作趋于完善，布尔在此后6年的漫长时间里，又付出了不同寻常的努力。1854年，他发表了《思维规律》这部杰作，当时他已39岁，布尔代数问世了，数学史上树起了一座新的里程碑。几乎像所有的新生事物一样，布尔代数发明后没有受到人们的重视。欧洲大陆著名的数学家蔑视地称它为没有数学意义的、哲学上稀奇古怪的东西，他们怀疑英伦岛国的数学家能在数学上做出独特贡献。布尔在他的杰作出版后不久就去世了。20世纪初，罗素在《数学原理》中认为，“纯数学是布尔在一部他称之为《思维规律》的著作中发现的。”此说一出，立刻引起世人对布尔代数的注意。今天，布尔发明的逻辑代数已经发展成为纯数学的一个主要分支。

在离散数学中，布尔代数(有时叫布尔格)是有补分配格（可参考格的定义)可以按各种方式去认为元素是

离散数学
什么；最常见的是把它们当作一般化的真值。作为一个简单的例子，假设有三个条件是独立的为真或为假。布尔代数的元素可以接着精确指定那些为真；那么布尔代数自身将是所有八种可能性的一个搜集，和与之在一起的组合它们的方式。

有时也被称为布尔代数的一个相关主题是布尔逻辑，它可以被定义为是所有布尔代数所公有的东西。它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成，而不管你具体的那个布尔代数。因为逻辑门和某些电子电路的代数在形式上也是这样的，所以同在数理逻辑中一样，布尔逻辑也在工程和计算机科学中研究。

运算理论

基本理论
在布尔代数上的运算被称为AND(与)、OR(或)和NOT(非)。代数结构要是布尔代数，这些运算的行为就必须和两元素的布尔代数一样(这两个元素是TRUE(真)和FALSE(假))。亦称逻辑代数.布尔(Boole，G.)为研究思维规律(逻辑学)于1847年提出的数学工具.布尔代数是指代数系统B=〈B，+，·，′〉

它包含集合B连同在其上定义的两个二元运算+，·和一个一元运算′，布尔代数具有下列性质：对B中任意元素a，b，c，有：

1．a+b=b+a，　a·b=b·a.

2．a·(b+c)=a·b+a·c，

a+(b·c)=(a+b)·(a+c).

3．a+0=a，　 a·1=a.

4．a+a′=1，　a·a′=0.

布尔代数也可简记为B=〈B，+，·，′〉.在不致混淆的情况下，也将集合B称作布尔代数.布尔代数B的集合B称为布尔集，亦称布尔代数的论域或定义域，它是代数B所研究对象的全体.一般要求

Answer 2

你好!很高兴为你答疑解惑。

逻辑代数或称布尔代数.它虽然和普通代数一样也用字母表示变量,但变量的值只有“1”和“0”两种,所谓逻辑“1”和逻辑“0”,代表两种相反的逻辑状态.在逻辑代数中只有逻辑乘（“与”运算）,逻辑加（“或“运算）和求反（”非“运算）三种基本运算.
其实数字逻辑中会学到,其他课程中都会涉及,概率论也有提到
1．逻辑加
逻辑表达式：F=A＋B
运算规则：0＋0=0, 0＋1=1, 1＋0=1, 1＋1=1.
2．逻辑乘
逻辑表达式：F=A·B
运算规则：0·0=0, 0·1=0, 1·0=0, 1·1=1.
3．逻辑反
逻辑表达式：
_
F=A
运算规则：
_ _
1=0, 0=1.
4．与非
逻辑表达式：
____
F=A·B
运算规则：略
5．或非
逻辑表达式：
___
F=A+B
运算规则：略
6．与或非
逻辑表达式：
_________
F=A·B+C·D
运算规则：略
7．异或
逻辑表达式：
_ _
F=A·B+A·B
运算规则：略
8．异或非
逻辑表达式：
____
F=A·B+A·B
运算规则：略
公式：
(1)交换律：A＋B=B＋A ,A·B=B·A
(2)结合律：A＋（B＋C）=（A＋B）＋C
A·（BC）=（AB）·C
(3)分配律：A·（B＋C）=AB＋AC（乘对加分配）,
A＋（BC）=（A＋B）（A＋C）（加对乘分配）
(4)吸收律：A＋AB=A
A(A＋B)=A
(5)0-1律：A＋1=1
A＋0=A
A·0=0
A·1=A
(6)互补律：
_
A＋A=1
_
A·A=0
(7)重叠律：A＋A=A
A·A=A
(8)对合律：
=
A = A
(9)反演律：
___ _ _
A+B=A·B
____ _ _
A·B=A+B

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Answer 3

布尔代数起源于数学领域，是一个用于集合运算和逻辑运算的公式：〈B，∨，∧，¬ 〉。其中B为一个非空集合，∨，∧为定义在B上的两个二元运算，¬为定义在B上的一个一元运算。

通过布尔代数进行集合运算可以获取到不同集合之间的交集、并集或补集，进行逻辑运算可以对不同集合进行与、或、非。

中文名：布尔代数
发现者：G.布尔
分类：数学专有名词
学科：高数追问

好

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