求线性代数 AA*=A*A=|A|En 的详细证明过程

Question

如题所述

Answer 1

用﹙A﹚﹙i,j﹚表示矩阵A的第i行第j列交汇处的元素。
A﹙i,j﹚＝aij aij在A的代数余子式为Aij. 则﹙A*﹚﹙i,j﹚＝Aji
﹙ AA*﹚﹙i,j﹚＝∑[1≤k≤n]aik﹙A*﹚﹙k,j﹚＝∑[1≤k≤n]aikAjk＝|A|δij＝﹙|A|En ﹚﹙i,j﹚
∴ AA*=|A|En
﹙A*A﹚﹙i,j﹚＝∑[1≤k≤n]﹙A*﹚﹙i,k﹚akj＝∑[1≤k≤n]Akiakj＝|A|δij＝﹙|A|En ﹚﹙i,j﹚
∴ A*A=|A|En
式中：i≠j时δij＝0，i＝j时δij＝1。