高数 求旋转体体积

Question

这道题目求体检，内部公式不是积分派r平方吗，答案的公式怎么多了2和x，还有r没平方呢

Answer 1

面积=∫(1,2)(-x²+2x)dx+∫(2,3)(x²-2x)dx=....不详细计算了。
体积=∫(1,2)2πx(-x²+2x)dx+∫(2,3)2πx(x²-2x)dx 2πx是圆周的长，2πx(-x²+2x)是圆柱壳的面积，dx是圆柱壳的厚度，所以这个积分没有错。
如果先求薄圆环面积，再乘高度，则为：
∫(-1,0)π(x²-1²)dy+∫(0,3)π(3²-x²)dy 左式中x=1+√(1+y)

Answer 2

S=∫<1,2>-(x^2-2x)dx+∫<2,3>(x^2-2x)dx
=(x^2-x^3/3)|<1,2>+(x^3/3-x^2)|<2,3>
=3-7/3+19/3-5
=2.
由y=x^2-2x,得x=1+√(y+1),
V=π∫<-1,0>{[1+√(y+1)]^2-1}dy+π∫<0,3>{3^2-[1+√(y+1)]^2}dy
=π∫<-1,0>[y+1+2√(y+1)]dy+π∫<0,3>[7-y-2√(y+1)]dy
=π[y^2/2+y+(4/3)(y+1)^(3/2)]|<-1,0>+π[7y-y^2/2-(4/3)(y+1)^(3/2)]|<0,3>
=π[-1/2+1+4/3+21-9/2-28/3]
=9π。

Answer 3

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