行列式问题

Question

D= 3 -5 2 1
1 1 0 -5
-1 3 1 3
2 -4 -1 -3
D的（i，j）元余子式和代数余子式分别记作Mij Aij 求A11A12A13A14及M11M21M31M41
答案说可知A11A12A13A14等于用1,1,1,1,代替D的第一行所得额行列式
我不明白为什么用1,1,1,1代替？？
为什么相等

Answer 1

根据你的描述, 应该是求 A11+A12+A13+A14.
作辅助行列式 D1 =
1 1 1 1
1 1 0 -5
-1 3 1 3
2 -4 -1 -3
由行列式展开定理, D1 = A11+A12+A13+A14
计算此行列式得 D1= 4. 即有 A11+A12+A13+A14 = 4.

需注意的是: 这里的A11,A12,A13,A14是D1的第1行元素的代数余子式. 但它们也是行列式D的第1行元素的代数余子式! 因为D1与D只有第1行不同, 第1行元素的代数余子式要划掉第1行, 所以它们是一样的!
所以对行列式D, 也有A11+A12+A13+A14 = 4.

计算 M11+M21+M31+M41 需先由 Mij = (-1)^(i+j)Aij 转换成代数余子式
M11+M21+M31+M41 = A11-A21+A31-A41.
作辅助行列式D2 (D的第1列换成 1,-1,1,-1)
1 -5 2 1
-1 1 0 -5
1 3 1 3
-1 -4 -1 -3
D2 = A11-A21+A31-A41 (按第1列展开) = M11+M21+M31+M41.
而 D2 = 0
所以有 M11+M21+M31+M41 = 0. (道理与上相同)

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