大学高数题 二重积分计算 不理解图二黄线这一步啊

Question

如题所述

Answer 1

解：详细过程是，∵原式=∫(0,π)dx∫(0,sinx)(x²-y²)dy。
而，∫(0,sinx)(x²-y²)dy=[x²y-(1/3)y³]丨(y=0,sinx)=x²sinx-(1/3)sin³x。
∴原式=∫(0,π)[x²sinx-(1/3)sin³x]dx=∫(0,π)x²sinxdx-(1/3)∫(0,π)sin³xdx。
∫x²sinxdx=-∫x²d(cosx)=-x²cosx+2∫xcosxdx=-x²cosx+2xsinx-2∫sinxdx=-x²cosx+2xsinx +2cosx+C。
供参考。追问

额，就是你的步骤的下一步不会

追答

接下来的过程是，∴∫(0,π)x²sinxdx=[-x²cosx+2xsinx +2cosx]丨(x=0,π)=π²-4。
∫(0,π)sin³xdx=-∫(0,π)(1-cos²x)d(cosx)=-[cosx-(1/3)cos³x]丨(x=0,π)=4/3。
∴原式=π²-4-(1/3)4/3=π²-40/9。
供参考。