求函数y=xlnx的n阶导数?答案一定要详解阿!

Question

如题所述

Answer 1

看图

Answer 2

y'=lnx+1
y''=1/x
这里直接求n阶导就可以了
y(n)=(-1)^n(n-2)!/x^(n-1)，n>1

要严格证明也可以，y''x=1
莱布尼茨公式，求n-2阶导
xy(n)+(n-2)y(n-1)=0
y(n)/y(n-1)=-(n-2)/x
所以y(n)/y(n-1)*y(n-1)/y(n-2)*...*y(4)/y(3)=(-1)^(n-3)(n-2)(n-3)*...*2*1*(1/x)^(n-3)
y(n)=y(3)(-1)^(n-1)(n-2)!/x^(n-3)
y(3)=y'''=-1/x^2
所以y(n)=(-1)^n(n-2)!/x^(n-1)，n>2
恰好n=2时，y(n)也成立
所以y(n)=(-1)^n(n-2)!/x^(n-1)，n>1
y(n)=lnx+1，n=1