首先，让我们来详细解释一下微分方程 dy/dx + y = e^(-x) 的求解过程。
齐次线性微分方程：
我们首先解齐次线性微分方程 y' + y = 0，它是一个一阶线性齐次微分方程。齐次线性微分方程的一般形式是 y' + P(x)y = 0，其中 P(x) 是已知函数。
对于 y' + y = 0，我们可以使用分离变量的方法来解：
dy/dx + y = 0
dy/dx = -y
将 y 移到一边，x 移到一边，得到：
dy/dx = -y
dy/y = -dx
然后对两边同时积分，得到：
∫(1/y) dy = -∫dx
这将给出：
ln|y| = -x + C₁
其中 C₁ 是积分常数。再用指数函数的性质，得到：
|y| = e^C₁ * e^(-x)
这可以写成：
|y| = Ce^(-x)
其中 C = ±e^C₁。我们可以将 C 合并到一个新的常数 K 中，所以最终的通解是：
|y| = Ke^(-x)
非齐次线性微分方程：
现在考虑原始的非齐次线性微分方程 dy/dx + y = e^(-x)。我们已经知道了齐次方程的通解为 |y| = Ke^(-x)。
为了找到非齐次方程的一个特解，我们可以采用待定系数法。我们猜测特解为 y_p = A * x * e^(-x)。将这个猜测代入方程：
(A * x * e^(-x))' + A * x * e^(-x) = e^(-x)
对 y_p 进行求导并代入方程，我们可以求出 A 的值：
(A * x * e^(-x))' = A * (e^(-x) - x * e^(-x))
然后代入方程：
A * (e^(-x) - x * e^(-x)) + A * x * e^(-x) = e^(-x)
化简得到：
A * e^(-x) = e^(-x)
于是 A = 1。
所以，一个特解为 y_p = x * e^(-x)。
综合通解：
现在我们已经有了齐次方程的通解和一个特解。我们可以将它们结合起来得到非齐次方程的通解：
y = |y| + y_p
y = Ke^(-x) + x * e^(-x)
这就是微分方程 dy/dx + y = e^(-x) 的通解。其中 K 是一个任意常数。