一道大学概率题

Question

概率论与数理统计教程 (第三版) 沈恒范
习题一 第14题
设一只昆虫所生的虫卵数ξ服从泊松分布P(λ)，而每个虫卵发育为幼虫的概率等于p，而且各个虫卵能否发育为幼虫是相互独立的。求一只昆虫所生幼虫数η的概率分布。

书后给的答案是，η服从P(kλ)的泊松分布。不懂，请帮忙给出解题过程。
抱歉，写错。书后给的答案是，η服从泊松分布P(λp)。不懂，请帮忙给出解题过程。

Answer 1

画个图，一目了然。
求至少一个发生的概率，只要1减去三个都不发生的概率就可以了。
P(AB)=P(BC)=0，说明AB互斥，BC互斥，所以P(ABC)=0。
P(三个都不发生的概率)=1-[P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)]=3/8
所以P(至少一个发生)=1-P(三个都不发生的概率)=5/8。
至于用你说的方法来做，有点麻烦。如下:
A发生，B不发生,C发生:1/8
(只要A发生或者C发生，B就不可能发生，不需要再相乘);
只有C发生:1/4-1/8=1/8
只有A发生:1/4-1/8=1/8
只有B发生:1/4
A发生，B发生,C不发生:0
A不发生，B发生,C发生:0
A发生，B发生,C发生:0
所以一样是5/8

Answer 2

一只昆虫所生的虫卵数ξ服从泊松分布P(λ)
=> 一只昆虫所生的虫卵数ξ的概率=P(ξ,λ)dξ
=> 一只昆虫所生的幼虫数η=p*ξ的概率=P(ξ,λ)dξ=P(η/p,λ)dη/p=P(η,λp)dη
=> 一只昆虫所生的幼虫数η服从P(pλ)分布本回答被网友采纳

Answer 3

一只昆虫所生幼虫数η=p*ξ 这里的p就是常数了

E（η）=E(p*ξ)=p*E(ξ)=p*λ
VAR(η)=VAR(p*ξ)=P*VAR(ξ)=P*λ

到这你应该就会了吧，η因为方差和期望都等于P*λ，因此就服从泊松分布P(λp)了。

Answer 4

又难了。 。。。。