高中数学 有关函数周期性

Question

已知F（X）在R上是奇函数，且满足F（X+4）=1/F（X），当X属于（0，2），F（X）=2X^2,则F(7)=? 这道提看了答案也懂(2008,湖北文),但是我的解法是 首先可以知道周期是4,又因为可以导出F(-X)=-(F+4)然后图象也关于(2,0)对称,这样可以画出图象,知道F(3)=F(1),因为F(3+4)=F(3),所以F(7)=F(1)=2 但是答案是F(7)=F(-1) 也能明白答案的解法 但我感觉自己也对 也不知道那错了 麻烦明白的详细解释一下 谢谢

Answer 1

解析：∵F（X）在R上是奇函数，∴f(0)=0
∵满足F（X）=F（X+4），∴f(x)为最小正周期T=4的周期函数
∵当X属于（0，2），F（X）=2X^2
∴当X属于（-2，0），F（X）=-2X^2
F(7)=F(7-2*4)=F(-1)=-2
你的解法是错误的
函数f(x)为最小正周期T=4的周期函数
由题意知区间[-2,2]是函数的一个周期的区间，下一个周期区间为[2,6],[6,10],…
在你的解答中，“图象也关于(2,0)对称”为什么？这是不可能
函数f(x)的对称中心为(4k,0)(k∈Z)
∴你的解法之所以错，就在于此