设所定义的函数是:f(x),是一个任意函数,在(-a,a)是连续的.那么:有以下表达式:f(x)=1/2*[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)-f(-x)]。
很明显,上式是成立的,因为计算出来后两边是相等的。现在我们来分析这个式子,可以看出,式子中加号以前的部分即:1/2*[f(x)+f(-x)]是一个偶函数,因为代入-x后和原式是相等的。同样,加号以后的部分是一个奇函数,代入-x后即可以看出。
所以对于任意一个定义在(-a,a)区间上的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和。
事实上,只要函数在定义域是关于0对称的,那么上式一定成立。
性质
1. 两个奇函数相加所得的和或相减所得的差为奇函数。
2. 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和或相减所得的差为非奇非偶函数。
3. 两个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为偶函数。
4. 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积或相除所得的商为奇函数。