定义在对称区间（-l，l）上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和，证明这种表示方法是唯一的

Question

如题所述

Answer 1

证明：∵ 任意一个奇函数可表示为：[f(x)-f(-x)]/2，
任意一个偶函数可表示为：[(f(x)+f(-x)]/2，
∴ 对称区间(－l,l)上任意函数：f(x)=[f(x)-f(-x)]/2 + [f(x)+f(-x)]/2 即得证。
这样可以么？

Answer 2

f(x)= (f(x)-f(-x))/2 + (f(x)+f(-x))/2
记g(x)=(f(x)-f(-x))/2是奇函数,h(x)=(f(x)+f(-x))/2是偶函数,这是存在性。
再证唯一性
若有g'(x)是奇函数,h'(x)是偶函数.
满足和为 f(x),
则有g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)
左边是奇函数,右边是偶函数.
那么g(x)-g'(x)=h'(x)-h(x)=0
唯一性得证本回答被提问者采纳

Answer 3

不是追问

这是证明题