若复矩阵A与B可交换,即AB=BA,证明A,B至少有一个公共的特征向量。答:A,B至少有一公共的特征向量,不可能保证存在公共特征值,比如A=I,B=0 至于公共特征向量的存在性,任取A的特征值a及其特征子空间X,那么对X中的任何向量x,则ABx=BAx=aBx,于是Bx也属于X,也就是说X是B的一个不变子空间,其中必存在B的特征向量....
若复矩阵A与B可交换,即AB=BA,证明:A,B至少有一公共的特征向量答:首先不妨把语言转化为线性变换: 取定一组基, 以A, B为矩阵的线性变换仍记为A, B.在复数域上, 特征多项式一定有解, 而每一特征值都有相应的特征向量.任取A的一个特征值λ, 考虑A的属于λ的特征子空间W(即AX = λX的解空间, 可知W ≠ 0).对任意X∈W, 有A(BX) = B(AX) = λBX,...