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实对称矩阵对角化一定要单位化吗
为什么
实对称矩阵一定
能
对角化
?
答:
为什么
实对称矩阵一定
能
对角化
? 这个问题的答案隐藏在数学的几何智慧中,实对称矩阵的对角化不仅是一次代数的转换,更是对二次型性质的深刻洞察。让我们从几何视角出发,探究其背后的奥秘。首先,想象一个二次型映射在
单位
圆上的美妙景象。每一个单位圆上的点都代表着一个可能的极值点,而这些极值点...
为什么要对向量
单位化
?不就正交化就好了吗?
答:
■
实对称矩阵
A与对角阵Λ存在正交相似变换,即满足变换式(Q转)AQ=(Q逆)AQ=Λ,矩阵Q为正交矩阵。这里正交矩阵含义是(正交化+单位化)。按你的意思,只要正交化而不
要单位化
,那么上述正交相似变换式不成立,A
对角化
为Λ不能用上式完成。■ 对比: 矩阵相似变换 (P逆)AP=Λ,其中P是特征...
为什么
实对称矩阵要
施密特正交化才能求出那个可逆矩阵来,从而相似对 ...
答:
因为
实对称矩阵
不同特征值对应的特征向量
一定
正交。而我们只需要把相同特征值对应的几个特征向量正交化即可。而斯密特正交化还有一特点,不仅正交化,还
单位化
,即每个向量的模都是1。最后我们得到一组相互正交,而且模都是1的向量组。这个向量组有个特点,任意一个向量与自己做内积,结果都等于1,而其它...
考研数学问题:n阶
实对称矩阵对角化
答:
2. 这要从变换的角度来理解。左乘初等矩阵,是对行作初等变换,再右乘这个初等矩阵的转置,是对列作“对称”的初等变换,因为矩阵是对称的,所以这样做
一定
最后可以把它
对角化
。比如假设
对称矩阵
(1,1)位置的元素不为0,先用行初等变换通过第一行把第三行的第一个元素消为0,那么再右乘这个变换...
为什么
实对称矩阵
A
一定
可正交相似
对角化
呢?
答:
2、
实对称矩阵
A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。3、n阶实对称矩阵A必可
对角化
,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。4、若λ0具有k重特征值,必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为
单位矩阵
。5、实对称矩阵A
一定
可正交相似对角化。矩阵特征值 设A...
实对称矩阵
为什么
一定
可以
对角化
?
答:
不仅可以
对角化
,还可以正交对角化。证明很容易,任取一个
单位
特征向量x满足Ax=cx,x'x=1,把x张成正交阵Q=[x,*],那么 Q'AQ= c 0 0 对右下角归纳即可。
为什么
实对称矩阵
必可以相似
对角化
?
答:
实对称矩阵一定
可以
对角化
,因为相似对角化的充要条件是n阶方阵A有n个线性无关的特征向量,充分条件是A有n个不同的特征值,而n个不同的特征值一定对应n个线性无关的特征向量,实对称矩阵n重特征值对应n个线性无关的特征向量,所以实对称矩阵一定可以对角化。
实对称矩阵
乘以任意正交矩阵都可以
对角化吗
答:
实对称矩阵
A的不同特征值对应的特征向量是正交的。实对称矩阵A的特征值都是实数,特征向量都是实向量。n阶实对称矩阵A必可
对角化
,且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。若λ0具有k重特征值,必有k个线性无关的特征向量,或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k,其中E为
单位矩阵
。
为什么
实对称矩阵一定
可以
对角化
?
答:
因为实际上对称矩阵相似于由其特征值构成的
对角矩阵
,所以
实对称矩阵
的特征值相同时,它们相似于同一个对角矩阵,由相似的传递性知它们相似,一般矩阵不
一定
可
对角化
。但当这两个矩阵是实对称矩阵时, 有相同的特征值必相似,比如当矩阵A与B的特征值相同,A可对角化,但B不可以对角化时,A和B就不相似...
实对称矩阵对角化
中,将基础解系正交化
单位化
的意义何在?
答:
这样求得的对角
阵对角
线上元素正好是特征值,这种变化叫正交变换。否则,叫可逆变换,求得的对角阵上元素并不
一定
是特征值。
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