设矩阵A和B满足AB=A+B，证明 若A和B都可逆，则A-¹+B-¹=E

Question

如题所述

Answer 1

AB-A-B=0
AB-A-B+E=E
(A-E)(B-E)=E
因此，A-E和B-E互为逆矩阵
因为A-E可逆，则A可逆（这个你可以使用反证法推出），类似地，B也可逆
第二个证明，AB=A+B
你先左乘以A（-1），然后化简之后，再右乘B（-1），就会得到A-¹+B-¹=E