数字从有理数到实数再到复数，数字的扩充就到头了，复数是平面上一个点，那再继续扩充成空间中一个点不就成了
x+yi+zj，然后j^2=-i,这是从i^2=-1顺理成章的，然后ij是什么呢
Hamilton的故事，这问题他想了好几年。先后想到j^2=-1,ij=0，ij=k，ij=-ji,总是走不通，有个衡量标准是：两个三元数的乘积的模是否等于模的乘积。据说后来有一天，他去参加某个XX会议，他和他老婆一起在路上走，他老婆一直喋喋不休的说些琐事，他就一直心里想问题。也不知是河边的微风激发了他的灵感，还是他老婆的声音和他大脑中某部分产生了共振，Hamilton从裤兜里掏出小刀，在桥栏上刻下了下面的公式：
i^2=j^2=k^2=ijk=-1
也可能是：
i^2=j^2=k^2=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-I,ik=-j
也可能都不是，反正他发现了“四元数”，即一个数可以表示成a+bi+cj+dk，终于满足大部分规律（没有乘法交换率）。
从三元数出发，最后发现了四元数
四元数(Quaternions)是由威廉·卢云·哈密顿(William Rowan Hamilton, 1805-1865)在1843年爱尔兰发现的数学概念。四元数的乘法不符合交换律(commutative law)，故它似乎破坏了科学知识中一个最基本的原则。
明确地说，四元数是复数的不可交换延伸。如把四元数的集合考虑成多维实数空间的话，四元数就代表著一个四维空间，相对於复数为二维空间。
四元数是除法环的一个例子。除了没有乘法的交换律外，除法环与场是相类的。特别地，乘法的结合律仍旧存在、非零元素仍有唯一的逆元素。
四元数形成一个在实数上的四维结合代数（事实上是除法代数），并包括复数，但不与复数组成结合代数。 四元数（以及实数和复数）都只是有限维的实数结合除法代数。
四元数的不可交换性往往导致一些令人意外的结果，例如四元数的 n-阶多项式能有多於 n 个不同的根。
参考资料：http://baike.baidu.com/view/319754.htm