四元数(Quaternions)

Question

如题所述

Answer 1

在19世纪的科学舞台上，Sir William Rowan Hamilton以他独到的洞察力，于1843年揭开了四元数的神秘面纱，这一发明犹如一道璀璨的光芒，扩展了复数的理论边界。正是这个看似抽象的概念，却在1985年由Shoemake引入计算机图形学的世界，开启了全新的旋转表达方式。四元数，这个看似复杂却无比精巧的数学工具，以其在稳定旋转插值中的卓越表现，超越了传统的欧拉角和矩阵，成为三维定向的首选表达手段。

每个三维定向，都可以通过一个特定轴的旋转来精准描绘，而四元数的运算，如加法、乘法和共轭，使得旋转的表示和转换变得既直观又高效。特别地，单位四元数，其模值为1，是表示三维旋转的高效工具，如图4.9所示。旋转的数学表达不再是单纯的轴和角度，而是通过一个点或向量与单位四元数的巧妙结合，如公式4.43所示，其中旋转轴、角度的微妙变化都会影响四元数的独特表示。

连接两个旋转的四元数，就像编织几何的魔方，其公式巧妙地融合了单位四元数的特性，将两个变换无缝对接。而矩阵与四元数之间的转换，单位四元数化简了这一过程，尽管正交矩阵转四元数的计算可能稍显复杂，但通过方程4.47和4.48，我们依然能轻松实现。

当谈到旋转插值，球面线性插值（Slerp）如同一颗璀璨的明珠，它以单位四元数为载体，通过代数形式实现了平滑的旋转过渡，生成出球面great arc的连续路径。为了进一步提升精度，多点插值利用slerp避免旋转的突然变化，引入球面三次插值（Spherical cubic interpolation），通过额外的四元数，确保了插值的平滑性。

而四元数的真正魅力在于它在创建光滑立方脊(smooth cubic spine)时的运用，即squad函数，通过slerp的反复构建，实现了对初始方向的精确描述，同时避开了中间点的困扰。这个过程包括向量归一化、旋转轴和角度θ的精确计算，以及公式4.43中四元数的推导，确保了整个旋转过程的数值稳定。然而，从四元数到旋转矩阵的转换并非易事，需要特别处理行向量平行的情况，例如，《实时渲染4th》第4.3节对此有详尽的阐述：四元数与旋转的深入探讨。

旋转矩阵的转换公式，虽然略显技术性，但无疑是四元数在图形学中的基石，它隐藏在方程4.56的神秘符号背后，等待着我们去探索和应用。