已知点A(2,3)和直线l:X+2y=0。(1)求点A关于直线l的对称点B的坐标

Question

第二问：求经过点A和点B，且与直线X-Y+1=0的相交弦长为二倍根号二的圆的方程？
要过程，速度点啊

Answer 1

（1）设过点A且与l垂直的直线为L1，
因为直线l：y=-x/2，所以：L1的斜率k=2，
由点斜式，L1：y=2(x-2)+3，即y=2x-1，
y=-x/2，y=2x-1联列方程组，得：x=2/5，y=-1/5；
即L1与l的交点为(2/5,-1/5)，这个点就是A,B的中点；
设点B(x，y)，由中点公式：(x+2)/2=2/5，(y+3)/2=-1/5；分别得：x=-6/5，y=-17/5；
所以，点B的坐标为(-6/5，-17/5)
（2）圆过A,B，则圆心C在AB的中垂线上，
由（1）直线l：x+2y=0就是AB的中垂线，圆心C在l上，所以，设C(-2b,b)；
则半径r²=AC²=(-2b-2)²+(b-3)²=5b²+2b+13；
C到直线x-y+1=0的距离d，则d²=(-3b+1)²/2=9b²/2-3b+1/2，
由半弦长√2，垂径d，半径r构成直角三角形；
由勾股定理：r²=d²+2；即：5b²+2b+13=9b²/2-3b+1/2+2；
整理得：b²/2+5b+21/2=0，即：b²+10b+21=0，即：(b+3)(b+7)=0；得：b=-3或b=-7
b=-3时，C(6,-3)，r²=52；此时圆的方程为：(x-6)²+(y+3)²=52；
b=-7时，C(14,-7)，r²=244；此时圆的方程为：(x-14)²+(y+7)²=244；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

1）设B（a，b），则
（1）(a+2)/2+2*(b+3)/2=0 (AB的中点在L上)
（2）(b-3)/(a-2)*(-1/2)=-1 (L丄AB，斜率的积=-1）
由（1）得 a+2b+8=0，
由（2）得 2a-b-1=0，
解得 a=-6/5，b=-17/5，
即 B（-6/5，-17/5）。

2）设圆坐标为（a，b），半径为r，则
（1）(a-2)^2+(b-3)^2=r^2，
（2）(a+6/5)^2+(b+17/5)^2=r^2
由于圆心到直线 x-y+1=0 的距离为 d=|a-b+1|/√2，弦长 L=2√2，
所以由勾股定理得
（3）(L/2)^2+d^2=r^2，即 2+(a-b+1)^2/2=r^2
解得 a=6，b=-3，r^2=52，
因此，所求圆的方程为 (x-6)^2+(y+3)^2=52.