已知圆C过定点F(-1/4,0),且与直线x=1/4相切,圆心C的轨迹为E,E与直线l:y=k(x+1)（k∈R）相交于A、B两点①求

Question

已知圆C过定点F(-1/4,0),且与直线x=1/4相切,圆心C的轨迹为E,E与直线l:y=k(x+1)（k∈R）相交于A、B两点①求曲线E的方程②在曲线E上是否存在与k的取值无关的定点M，使得MA⊥MB？若存在，求出所有符合条件的定点M;若不存在，请说明理由。

Answer 1

①设点C的坐标为（x，y）。点C到x＝1/4 的距离等于到F的距离。所以
|x-1/4|=√〔（x+1/4)²＋y²〕
两边平方化简得曲线E的方程 y²＝－x
②设曲线E上的定点M的坐标为 （x0,y0）,则 y0²＝－x0，∴x0＝－y0² ，M（－y0²，y0）
由y²＝－x得x＝－y²，代入y=k(x+1) 整理得ky²＋y－k＝0
设A(x1,y1),B(x2,y2) 则x1=-y1²，x2＝－y2²。∴A（－y1²，y1），B（－y2²，y2）
由根与系数的关系得 y1+y2=-1/k, y1*y2=-1
MA的斜率 为（y0－y1）/(-y0²+y1²)＝－1/(y0＋y1)
同理MB的斜率为 －1/(y0+y2)
如果MA⊥MB，则[－1/(y0＋y1)]*[－1/(y0+y2)]=-1
化简整理得 y0²＋（y1+y2）y0+y1*y2=-1
∴ y0²－1/k *y0-1=-1
y0²－1/k *y0=0
∴y0＝0或y0＝1/k
当y0＝0时，x0＝0
存在符合条件的点M，其坐标为（0，0）
请复核数字计算

Answer 2

解：（I）由题意，点C到定点（-$\frac{1}{4}$，0）和直线x=$\frac{1}{4}$的距离相等，
所以点C的轨迹方程为y2=-x
（II）由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-x}\\{y=k（x+1）}\end{array}\right.$消去x，整理得ky2+y-k=0
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=-$\frac{1}{k}$，y1y2=-1
设直线l与x轴的交点为N，则N（-1，0）
∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=$\frac{1}{2}$|ON||y1|+$\frac{1}{2}$|ON||y2|=$\frac{1}{2}$•1•$\sqrt{{（{y}_{1}+{y}_{2}）\;}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{（\frac{1}{k}）}^{2}+4}$
∵S△OAB=$\sqrt{10}$，求得k=$±\frac{1}{6}$