两个矩阵相似，为什么它们的秩相等？

Question

两个矩阵相似，为什么它们的秩相等？

Answer 1

矩阵A与B相似，则B=(P^-1)AP，可逆矩阵是初等阵的乘积，所以A可以经过初等变换化为B，而初等变换不改变矩阵的秩，所以r(B)=r(A)。（"P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵）

矩阵A与B相似，必须同时具备两个条件：

(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵。

(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。

扩展资料：

相似矩阵的性质：

1、若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而A与B的特征值亦相同。

2、相似矩阵的秩相等。

3、相似矩阵的行列式相等。

4、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

Answer 2

2楼是错的，如果A,B行列式等于0，就不能说明秩相等，只能说明它们都不是满秩
设n阶矩阵A,B,由于A~B,存在可逆矩阵T(其逆矩阵为T',rank(T)=rank(T')=n)，使T'AT=B,根据矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩
rank(B)≤min(rank(T'),rank(T),rank(A))=rank(A)
又有TBT'=A，同理可得rank(A)≤rank(B),故rank(A)=rank(B)本回答被提问者采纳

Answer 3

B 相似 A,存在可逆阵X A=X^(-1)BX |A|=|X^(-1)||B||X|=|B| 两个矩阵行列式值相等,必有秩相等

Answer 4

看高等代数教材就是了