一个微积分的题目

Question

用部分微分法求e^x·(Sinx)^2
麻烦写出详细的求解步骤～谢谢啦^_^

Answer 1

e^x(sinx)^2=e^x(1-cos2x)/2=e^x/2-e^xcos2x/2
第一项积分为e^x/2,考虑-e^xcos2x/2
-e^xcos2x/2=(-1/4)e^x(e^i2x+e^-i2x)=(-1/4)(e^(1+2i)x+e^(1-2i)x)
积分得到(-1/4)(e^(1+2i)x/(1+2i)+e^(1-2i)x/(1-2i))
=(-1/4)e^x(e^2ix/(1+2i)+e^-2ix/(1-2i))
=(-1/4)e^x((1/5)(e^2ix+e^-2ix-2i(e^2ix-e^-2ix)))
=(-1/4)e^x((1/5)(2cos2x+4sin2x))
=(-1/10)e^xcos2x+(-1/5)e^xsin2x
和在一起得到积分为
(1/2)e^x+(-1/10)e^xcos2x+(-1/5)e^xsin2x+C
这题也可以用分部积分法求，需要来回来去带，最后等号两侧都出现e^x·(Sinx)^2，然后解方程得到结果

Answer 2

设f'(x)=e^x,g(x)=sin^2(x),g'(x)=2sin(x)*cos(x)=sin(2x),f(x)=e^x
那么f'(x)g(x)=(f(x)g(x))'-f(x)g'(x),Int(e^x*(sinx)^2)=e^x*sin^2(x)-Int(e^x*sin(2x)).......(0)
f(x)g'(x)=e^x*sin(2x),要计算e^x*sin(2x)积分，再次运用分部积分，得Int(e^x*sin(2x))=e^x*sin(2x)-Int(2e^x*cos(2x))=e^x*sin(2x)-2Int(e^x*cos(2x)) ...............(1)
计算Int(e^x*cos(2x))=e^x*cos(2x)+Int(e^x*2*sin(2x))=e^x*cos(2x)+2Int(e^x*sin(2x))..........(2)
(2)带入（1）得：
Int(e^x*sin(2x))=e^x*sin(2x)-2*(e^x*cos2x+2Int(e^x*sin(2x))).........(3)
所以5Int(e^x*sin(2x))=e^x*sin(2x)-2e^x*cos2x.............(4)
带入0，得e^x*sin^2(x)-Int(e^x*sin(2x))=e^x*sin^2(x)-( e^x*sin(2x)-2e^x*cos2x )/5
=e^x*(1-cos(2x))/2-( e^x*sin(2x)-2e^x*cos2x )/5=e^x*(1/2-cos(2x)/10-sin(2x)/5)