指数型的极限，一般都是利用自然对数的指数，即 lim f(x)=lim e^[lnf(x)]=e^[lim ln f(x)]
lim [x^(1/x)-1]^(1/lnx)
【t=1/x ->0+】 =e^lim ln[1/t^t-1]^(1/-lnt)
=e^lim -ln[t^(-t)-1]/lnt
因为1/t^t=e^ln t^(-t)=e^(-tln t),
所以t^(-t)-1=e^(-tln t)-1~-t*ln t 【e^x-1~x】
故原极限=e^lim -ln[t^(-t)-1]/lnt
=e^lim -ln[-t*lnt]/lnt
=e^lim [t(1+lnt)/(-t*lnt)]【洛必达法则，分子分母分别求导】
=e^lim -[(1+lnt)/lnt] 【再次洛必达法则，分子分母分别求导】
=e^lim -(t/t)
=e^-1=1/e
lim [x^(1/x)-1]^(1/lnx)
【t=1/x ->0+】 =e^lim ln[1/t^t-1]^(1/-lnt)
=e^lim -ln[t^(-t)-1]/lnt
因为1/t^t=e^ln t^(-t)=e^(-tln t),
所以t^(-t)-1=e^(-tln t)-1~-t*ln t 【e^x-1~x】
故原极限=e^lim -ln[t^(-t)-1]/lnt
=e^lim -ln[-t*lnt]/lnt
=e^lim [t(1+lnt)/(-t*lnt)]【洛必达法则，分子分母分别求导】
=e^lim -[(1+lnt)/lnt] 【再次洛必达法则，分子分母分别求导】
=e^lim -(t/t)
=e^-1=1/e
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