高数。求微分方程的通解。

Question

如题所述

Answer 1

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Answer 2

分子、分母同除以x，变为齐次方程，设y/x＝u，进行求解

Answer 3

求微分方程 y'=(x+y)/(x-y)的通解
解：dy/dx=[1+(y/x)]/[1-(y/x)]............①;
令y/x=u，则y=ux...........②；于是dy/dx=x(du/dx)+u..........③
将②③代入①式得：x(du/dx)+u=(1+u)/(1-u);
x(du/dx)=(1+u)/(1-u)-u=(1+u²)/(1-u);
分离变量得：[(1-u)/(1+u²)]du=(1/x)dx;
积分之：∫[(1-u)/(1+u²)]du=∫[1/(1+u²)]du-∫[u/(1+u²)]du=lnx+lnc=lncx
即有 arctanu-(1/2)ln(1+u²)=lncx;
即有 arctanu=lncx+ln√(1-u²)=ln[cx√(1-u²)];
故cx√(1-u²)=e^arctanu；将u=y/x代入，即得原方程的通解为：
cx√[1-(y²/x²)=e^arctan(y/x);
或写成：c√(x²-y²)=e^arctan(y/x)；
这就是原方程的隐性通解。

Answer 4

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