在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以

Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50，AC=30，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC-CA于点G．点P，Q同时出发，当点P绕行一周回到点D时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）D，F两点间的距离是 ；（2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由；（3）当点P运动到折线EF-FC上，且点P恰好落在射线QK上时，求t的值；（4）连结PG，当PG‖AB时，请直接写出t的值．

Answer 1

解：
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50∵D，F是AC，BC的中点，∴DF= AB=25

（2）能．
如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
由四边形CDEF为矩形，可知QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t= ．

（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时，
如图，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得 ．
∴t=4 ；
②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时，
如图，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7 ；

（4）如图4t=1 ；如图5，t=7 ．
（4分）
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图8；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）

Answer 2

解：
（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50∵D，F是AC，BC的中点，∴DF= AB=25

（2）能．
如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
由四边形CDEF为矩形，可知QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t= ．

（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时，
如图，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得 ．
∴t=4 ；
②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时，
如图，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7 ；

（4）如图4t=1 ；如图5，t=7 ．
（4分）
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图8；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）

Answer 3

1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=50
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，
DF=25

（2）能．
如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=49/8

（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时，
如图，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得 ．
∴t=4 ；
②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时，
如图，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7 ；

（4）如图4，t=1 ；如图5，t=7 ．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）

Answer 4

解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=40，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴DF=AB=20

（2）能．
如图，连接DF，过点F作FH⊥AB于点H，
∵D，F是AC，BC的中点，
∴DE∥BC，EF∥AC，四边形CDEF为矩形，
∴QK过DF的中点O时，QK把矩形CDEF分为面积相等的两部分
（注：可利用全等三角形借助割补法或用中心对称等方法说明），
此时QH=OF=12.5．由BF=20，△HBF∽△CBA，得HB=16．
故t=．

（3）①当点P在EF上（2 ≤t≤5）时，
如图，QB=4t，DE+EP=7t，
由△PQE∽△BCA，得 ．
∴t=4 ；
②当点P在FC上（5≤t≤7 ）时，
如图，已知QB=4t，从而PB=5t，
由PF=7t-35，BF=20，得5t=7t-35+20．
解得t=7 ；

（4）如图4，t=1 ；如图5，t=7 ．
（注：判断PG∥AB可分为以下几种情形：当0＜t≤2 时，点P下行，点G上行，可知其中存在PG∥AB的时刻，如图4；此后，点G继续上行到点F时，t=4，而点P却在下行到点E再沿EF上行，发现点P在EF上运动时不存在PG∥AB；5≤t≤7 当时，点P，G均在FC上，也不存在PG∥AB；由于点P比点G先到达点C并继续沿CD下行，所以在7 ＜t＜8中存在PG∥AB的时刻，如图5当8≤t≤10时，点P，G均在CD上，不存在PG∥AB）
（4分）