二次递推数列求通项特征根

Question

如题所述

Answer 1

二次递推数列是指每一项都由前两项推导出来的数列，通项公式可以用二次方程表示。在求解二次递推数列的通项公式时，需要先求出该数列的特征根。
特征根是指将递推数列转化为通项公式后，其二次方程的根。求解特征根的方法有多种，其中一种常用的方法是使用特征方程。
特征方程可以通过将递推数列的通项公式带入数列的递推式得到。假设递推数列的通项公式为 $a_n=r^n$，则递推式为 $a_n=ca_+da_$，带入通项公式得到 $r^n=cr^+dr^$。
将该方程两边都除以 $r^$，得到 $r^2=cr+d$。这就是递推数列的特征方程，其根即为特征根。
通过解特征方程，即可求出递推数列的特征根。如果特征根为实数，通项公式可以表示为 $a_n=Ar_1^n+Br_2^n$，其中 $A$ 和 $B$ 是常数，$r_1$ 和 $r_2$ 是特征根。
如果特征根为共轭复数对，则通项公式可以表示为 $a_n=(A+Bi)r_1^n+(A-Bi)r_2^n$，其中 $A$ 和 $B$ 是常数，$r_1$ 和 $r_2$ 是特征根的实部，$i$ 是虚数单位。
因此，求解二次递推数列的通项公式，需要先求出特征根，然后根据特征根的类型，确定通项公式的形式。