二阶递推数列怎么求通项公式?

Question

说下方法.
不能特征方程,如果化x_(n+1) - a * x_n = b(x_n - a * x_(n-1)) ,如果有2个不相同实数解,然后怎么代??

Answer 1

对于形如 a(n+2)+p*a(n+1)+q*a(n)=0的递推式.
其特征方程为 x^2+p*x+q=0,求出方程的两根.
x1,x2.
若两根为实数, x1=x2时,a(n)=(k1+k2*x1)*x1^n
x1!=x2里,a(n)=k1*x1^n + k2*x2^n
若两根为复数,x1=t*(cos(sita)+i*sin(sita)),t>0
则 a(n)=t^n*(k1*cos(n*sita)+k2*sin(n*sita))
其中 k1,k2待定系数.
此方法为特征方程法.

Answer 2

化简成
x_(n+1) - a * x_n = b(x_n - a * x_(n-1))
的形式(其中a,b可通过代入原递推公式求出),
然后再用初始条件解得通项.

Answer 3

an=(An+B）x_n(如果解出x相同）

Answer 4

设原数列为A（n+2）+W*A(n+1)+E*A(n)=0
首先将二阶递归列转化为一阶递归列：设一个数列Bn，使B(n+1)=A(n+2)+RA(n+1)···（一式)
其中，R为待定系数。
将n+1换位n，得到B(n)=A(n+1)-RA(n)·····················（二式）
由于我们要完成由二阶向一阶的转化。
固要得到B（n+1）-TB（n）=0························（三式）
将一式二式带入三式。得到A（n+2）-（R+T）*A（n+1）+T*R*A（n）=0······（四式）
注意到上式中的系数：1，（R+T）,R*T。如果将它们分别看做一个二次方程的二次项，一次项，零次项系数，由于二次项系数恰为一。
这样，由于维达定理，我们所假定的二次方程两根X1，X2就有：X1+X2=R+T,X1*X2=R*T
显然，此方程有唯一实数解X1=R，X2=T,或X1=T,X2=R。
两组解取哪一组是不重要的。
这样，就出现了所谓的二阶递归列的特征方程，同样的，我们可以列出三阶，四阶，不过就要借助卡当公式求根了。
回归正题，我们不妨使X1=R，X2=T。
这样，R和T就为已知系数，又由于An前K项已知。所以Bn的递推列可求。
我们再来观察三式：B（n+1）+TB（n）=0
这种简单的一阶递归列通项可以看出来大概是Bn=B1*T^（n-1）这样的等比数列。
不妨将Bn通项带入二式，这样我们就得到一个带有参变量的一阶递归列：
B1*T^（n-1）=A(n+1)+RA(n)·························（五式）
类似这种一阶递归列的求解方法是将等式两边同时除以(R)^(n+1)，得到：
B1*T^（n-1）/R^(n+1)=A(n+1)/(R)^(n+1)-A(n)/(R)^(n)，···············（六式）
构造Cn，使Cn=An/（R）^n。
则：B1*T^（n-1）/(R)^(n+1)=C(n+1)-Cn·····················（七式）
上式结构复杂，不容易辨认，将左边整理一下。得到：
(T/R)^(n)*B1*R/T=C(n+1)-Cn，这里说明一下，B1，R，T，C1，都是可求的。
所以，上式可求。