在数学的瑰宝中，极限如同一把揭示无穷奥秘的钥匙，它起源于实际问题的精度追求，代表着变量在无限接近中接近一个确定值的过程。在数学语言中，我们定义极限为：当一个变量在不断变化中，无论怎样逼近，始终无法达到某一特定值，但其行为始终受控，这即为极限的实质。
数列是有序实数序列的基石，每个数列{ }通过其项的规律定义，例如，若每项都有确定的公式，它就被称为收敛数列。数列极限的定义是，无论初始的误差多小，总有某个N之后，所有项的值均落入这个误差范围，如记为limn→∞ { } = L。
当数列的项数无限增大，若其值也无界，那么极限不存在，我们称数列发散。例如，若 limn→∞ (n)不存在，表明n的值会无限制地增大。另一方面，收敛数列的性质揭示了其重要性，如定理1：收敛数列的极限是唯一的，且收敛数列总是有界的。
函数的极限是对自变量变化趋势的精确描述，它可以分为两种情况：有限值趋近和无穷大趋近。当自变量x趋于某个有限值时，函数值f(x)应趋向于某固定值A，记为limx→a f(x) = A。而对于无穷大，函数可能有水平渐近线，表示当x趋向正无穷或负无穷时，f(x)的值保持在某范围内的极限行为。
函数极限的性质同样引人入胜，如极限的唯一性和保号性，以及与数列极限的紧密联系。这些定理不仅指导我们理解和应用极限，也为后续的微积分理论奠定了基础。
在计算极限时，我们可以利用一些基本法则，如加减乘除法则，来简化过程。例如，limn→∞ [f(x) ± g(x)] = limn→∞ f(x) ± limn→∞ g(x)。对于函数极限与数列的关系，我们可以观察函数f(n)与数列{f(n)}之间的相似性，以求解极限。
总结起来，极限不仅是数学中的核心概念，它在实际问题中的应用广泛，从物理模型到经济预测，都是极限理论发挥作用的舞台。理解极限的性质和计算方法，是数学旅程中不可或缺的一环。