已知线段AB平行于CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点。连接BE,若BE平分...

Question

已知线段AB平行于CD,AD与BC相交于点K,E是线段AD上一动点。连接BE,若BE平分角ABC,则当AE=二分之一AD时，0分
猜想线段AB,BC,CD三者之间有怎样的等量关系，并证明。在探究：当AE=N分之AD[N大于2】，而其余条件不变时，线段AB,BC,CD三者之间又有怎样的等量关系？

Answer 1

延长BE和DC，相交于B‘点，由AB//CD, 推得AE/DE=AB/B'D;
即：AE/(AD-AE)=AB/(B’C+CD）；AE=AD/n;
所以AB/(B'C+CD)=1/(n-1)；(n-1)AB=B'C+CD;
由BE是角ABC的平分线，有角ABE=角EBK=角BB‘C；推得B’C=BC；
所以(n-1).AB=BC+CD;
当n=2时，AB=BC+CD；

Answer 2

（2）当BE平分∠ABC，AE=1
2
AD时，AB=BC+CD．
证明：取BD的中点为F，连接EF交BC与G点，
由中位线定理，得EF∥AB∥CD，
∴G为BC的中点，∠GEB=∠EBA，
又∠EBA=∠GBE，
∴∠GEB=∠GBE，
∴EG=BG=1
2
BC，而GF=1
2
CD，EF=1
2
AB，
∵EF=EG+GF，
即：1
2
AB=1
2
BC+1
2
CD；
∴AB=BC+CD；
同理，当AE=1
n
AD（n＞2）时，过点E作EF∥AB，则△DEF∽△DAB，△CKD∽△BKA，
故BC+CD
AB
=ED
AE
=n-1，
故当AE=1
n
AD（n＞2）时，BC+CD=（n-1）AB．

Answer 3

证明：延长BE、DC交于点F
∵E为AD中点
∴AE＝DE
∵AB∥CD
∴∠FDA＝∠BAD
∵∠DEF＝∠AEB
∴△ABE全等于△DEF
∴DF＝AB
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE＝∠CBE
∵AB∥CD
∴∠DFB＝∠ABE
∴∠DFB＝∠CBE
∴CF＝BC
∵DF＝CD+CF
∴DF＝CD+BC
∴AB＝BC+CD