为什么不同特征值对应的特征向量线性无关

Question

如题所述

Answer 1

是线性代数中特征值和特征向量的基本性质之一：
假设存在两个不同的特征值λ?和λ?，对应的特征向量分别为n?和n?。n?和n?线性相关，那么存在一个非零实数k，使得n?=kn?。考虑矩阵A作用在特征向量上，有An?=λ?n?和An?=λ?n?。将n?=kn?代入第一个等式，得到A(kn?)=λ?(kn?)，即kAn?=kλ?n?。因k不为零，可以约去，得到An?=λ?n?。这说明特征值λ?和λ?相等，与已知是不同的特征值矛盾。可得出结论：不同特征值对应的特征向量线性无关。