射影微分几何学内容

Question

如题所述

Answer 1

射影微分几何学，起源于意大利学派，由G.富比尼引领。以曲面理论为例，曲面在三维射影空间中的表示由点的齐次坐标给出。富比尼规范坐标方法的关键在于通过射影不变的方式确定比例因子，从而使曲面的描述更为精确。在此基础上，可以通过规范坐标构建二次和三次的基本形式。这些基本形式的系数之间有一系列的关系，即曲面的基本方程。这些方程与普通曲面理论相似，是射影曲面论的核心，它确保了通过两个特定微分形式及其满足的基本方程，可以唯一地确定一个曲面，其特征仅通过射影变换体现。

另一种方法是嘉当继承达布的创新活动标架法，他重新构建了射影曲面论。这种方法更为简洁且具有普遍性。所有的讨论都被简化为一个普法夫方程系统，其可积分条件由嘉当结构方程表述。通过这种方法，许多结果能够自然地推导出来，展现了理论的高效和深度。这种方法相较于第一种，更倾向于系统性和内在关联性，是射影微分几何学中的重要贡献。