原函数和变限积分的区别如下:
如果一个函数是连续的,那么 ∫f(x)dx 与 ∫axf(x)dx 区别不大,后者属于前者的一部分,前者是原函数,包括无数个函数;后者是变限积分,只是一个函数,这里 a 是常数。但是如果函数存在间断点那么情况就不一样了,着重讨论第一类间断点;
如果函数存在第一类间断点,自然原函数是不存在的了,可是变限积分是存在的,试想一下如果一个函数存在有限个第一类间断点,那么定积分在某一定区间是肯定存在的,变限积分也就是将定积分的上限不固定,所以变限积分存在。说明在该情况下变限积分并不是原函数。
原函数与变上限积分:
f(x) 在区间 I 上:
1、 f(x)可积->变上限积分存在->变上限积分存在即连续。
2.、f(x) 连续->存在原函数,且就是 ∫axf(t)dt ,根据原函数定义,在区间 I 上必然可导。
原函数定义:
设函数 f(x) 在区间 I 上,若存在可导函数 F(x) , ⋅∀x∈I,F′(x)=f(x) ,则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数。称 ∫axf(x)dx=F(x)+C 为f(x)在I上的全体原函数,即不定积分。当f(x)连续时,f(x)一定存在原函数,且其变上限积分就是它的一个原函数。