原函数和变限积分的区别在哪？

Question

如题所述

Answer 1

原函数和变限积分的区别如下：

如果一个函数是连续的，那么 ∫f(x)dx 与 ∫axf(x)dx 区别不大，后者属于前者的一部分，前者是原函数，包括无数个函数；后者是变限积分，只是一个函数，这里 a 是常数。但是如果函数存在间断点那么情况就不一样了，着重讨论第一类间断点；

如果函数存在第一类间断点，自然原函数是不存在的了，可是变限积分是存在的，试想一下如果一个函数存在有限个第一类间断点，那么定积分在某一定区间是肯定存在的，变限积分也就是将定积分的上限不固定，所以变限积分存在。说明在该情况下变限积分并不是原函数。

原函数与变上限积分：

f(x) 在区间 I 上：

1、 f(x)可积->变上限积分存在->变上限积分存在即连续。

2.、f(x) 连续->存在原函数，且就是 ∫axf(t)dt ，根据原函数定义，在区间 I 上必然可导。

原函数定义：

设函数 f(x) 在区间 I 上，若存在可导函数 F(x) ， ⋅∀x∈I，F′(x)=f(x) ，则称F(x)是f(x)在I上的一个原函数。称 ∫axf(x)dx=F(x)+C 为f(x)在I上的全体原函数，即不定积分。当f(x)连续时，f(x)一定存在原函数，且其变上限积分就是它的一个原函数。