利用极坐标计算二重积分∫∫1/(1+x+y)dxdy其中D是圆域x²+y²小于等于1

Question

如题所述

Answer 1

∫∫<D>1/(1+x+y)dxdy
=∫<-1,1>dx∫<-√(1-x^2),√(1-x^2)>dy/(1+x+y)
=∫<-1,1>dx*ln(1+x+y)|<-√(1-x^2),√(1-x^2)>
=∫<-1,1>{ln[1+x+√(1-x^2)]-ln[1+x-√(1-x^2)]}dx
=∫<-1,1>{ln[1+√(1-x^2)]-lnx}dx?

设x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu,
∫∫<D>1/(1+x+y)dxdy
=∫<0,2π>du/(cosu+sinu)∫<0,1>[1+(cosu+sinu-1)/(1+rcosu+rsinu)]dr
=∫<0,2π>du/(cosu+sinu)*[r+(cosu+sinu-1)/(cosu+sinu)*ln(1+rcosu+rsinu)]|<0,1>
=∫<0,2π>[1+(cosu+sinu-1)/(cosu+sinu)*ln(1+cosu+sinu)]du/(cosu+sinu)
?难！追问

没看懂=∫du/(cosu+sinu)∫[1+(cosu+sinu-1)/(1+rcosu+rsinu)]dr
中的(cosu+sinu) 和[1+(cosu+sinu-1)怎么来的

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