求阿波罗尼斯圆的几何证明方法

Question

不用坐标系

Answer 1

定义 在平面上给定相异两点A、B，设P点在同一平面上且满足PA/PB= λ，当λ>0且λ≠1时，P点的轨迹是个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆。这个结论称作阿波罗尼斯轨迹定理。设M、N分别为线段AB按定比λ分割的内分点和外分点，则MN为阿波罗尼斯圆的直径，且MN=〔2λ／（λ^2-1）〕AB。 证明 我们可以通过公式推导出AN的长度：AN:BN＝AP:BP ，其中BN=AN+AB，所以AN:(AN+AB)＝AP:BP=>AN=AP×AB÷(BP-AP)，以NP为直径的圆就是我们所求的轨迹圆。 性质 由阿波罗尼斯圆可得阿波罗尼斯定理，即： 设三角形的三边和三中线分别为a、b、c、ma(a为下标，下同）、mb、mc，则有以下关系： b^2+c^2=a^2/2+2ma^2； c^2+a^2=b^2/2+2mb^2； a^2+b^2=c^2/2+2mc^2。 （此定理用余弦定理和勾股定理可以证明）。 o(∩_∩)o 如果我的回答对您有帮助，记得采纳哦，感激不尽。