直线l与以AB为直径的圆O相交于C,D,C,D不与A,B重合作AE⊥l,BF⊥L,垂足分别为E,F，求证：EC=DF

Question

分类讨论 ，要有图

Answer 1

1．见图一。直线l与直径AB不相交。

连接AD，BC，AC，BD。

∵AB是直径

∴∠ACB＝90°

∵AE⊥l　　　　　　　　　　　　（l为直线）

∴∠AED＝90°

∵∠ABC＝∠ADC　　　　　　　（同弧对同角）

　∠ACB＝∠AED

∴△AED∽△ACB　　　　　　　（角，角，角）

　ED：BC＝AD：AB―――1　（相似三角形对应边成比例）

同理：

∵△EFB∽△ADB　　　　　　　（角，角，角）

∴CF：AD＝BC：AB　　　　　（相似三角形对应边成比例）

　CF：BC＝AD：AB―――2　（等量变换）

∵CF＝ED　　　　　　　　　　　（比较式1和式2）

∴EC＝DF　　　　　　　　　　　（CD为公共线段）

2．见图二。直线l与直径AB相交。

连接AD，BC，AC，BD。同理：

∵△ADE∽△ABC　　　　　　　（角，角，角）

∴AD：AB＝ED：BC―――3　（相似三角形对应边成比例）

∵△BCF∽△ABD　　　　　　　（角，角，角）

∴AD：CF＝AB：BC　　　　　（相似三角形对应边成比例）

　AD：AB＝CF：BC―――4　（等量变换）

∵CF＝ED　　　　　　　　　　　（比较式3和式4）

∴EC＝DF　　　　　　　　　　　（EF为公共线段）

证毕。