高等数学证明题。

Question

如题所述

Answer 1

这种集合问题，需证明左边元素属于右边集合，并且右边集合中的元素属于左边集合即可。

先证左集合中元素属于右边集合：设y属于f(AUB)，则存在x属于AUB，使得f(x)=y,则x属于A，或者属于B，即y属于f(A),或者属于f(B),即证f(AUB)包含于f(A)Uf(B)

反之，设y属于f(A)Uf(B)，则y属于f(A)或者f(B)，假设y属于f(A)，则存在x属于A，使得f(x)=y，进一步x属于AUB，即y属于f(AUB)

先证左集合中元素属于右边集合：设y属于f(A∩B)，则存在x属于A∩B，使得f(x)=y,则x属于A,且属于B，即y属于f(A)，且属于f(B),即证f(A∩B)包含于f(A)∩f(B)

反之，举个反例即可，如f对任何x作用后都为某常数，如f(x)=1,则A与B交集为空集，但是，f(A)∩f(B)=1

Answer 2

设y属于f(AUB)，则存在x属于AUB，使得f(x)=y,则x属于A，或者属于B，即y属于f(A),或者属于f(B),即证f(AUB)包含于f(A)Uf(B)
反之，设y属于f(A)Uf(B)，则y属于f(A)或者f(B)，假设y属于f(A)，则存在x属于A，使得f(x)=y，进一步x属于AUB，即y属于f(AUB)
设y属于f(AUB)，则存在x属于AUB，使得f(x)=y,则x属于A，或者属于B，即y属于f(A),或者属于f(B),即证f(AUB)包含于f(A)Uf(B)
反之，设y属于f(A)Uf(B)，则y属于f(A)或者f(B)，假设y属于f(A)，则存在x属于A，使得f(x)=y，进一步x属于AUB，即y属于f(AUB)

Answer 3

（1）设元素x属于A与B的并集。那么x属于A或者x属于B。
f(x)属于f(A)或者f(B)，而f(A)、f(B)中任意元素的原像均在A或B中。
所以f(A、B并集）=f(A)与f(B)并集。
（2）设x属于A、B交集。f(x)属于f(A)也属于f(B)。
所以f(A、B交集）属于f(A)与f(B)交集。