如图，底面是正三角形的三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，M为PC中点，且PA=AB，其中下列四个命题：①三棱锥P-

Question

如图，底面是正三角形的三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，M为PC中点，且PA=AB，其中下列四个命题：①三棱锥P-ABM的体积等于三棱锥C-ABM的体积②PC⊥平面ABM；③PA与BM所成角为60°；④BP与平面ABM所成角的与BC与平面ABM所成角相等；其中真命题的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

解答：解：∵M为PC中点，故P，C点到平面MAB的距离相等，
∴三棱锥P-ABM和三棱锥C-ABM同底等高，
∴三棱锥P-ABM的体积等于三棱锥C-ABM的体积，故①为真命题；
若PC⊥平面ABM，则PC⊥BM，由M为PC中点，可得PB=BC，这与PB=

2

AB=

2

BC矛盾，故②为假命题；
过M作MD∥PA，则∠BMD即为PA与BM所成角，易得MD⊥底面ABC，即MD⊥BD，设MD=a，则BD=

3

a，则tan∠BMD=

3

，∠BMD=60°，故③为真命题；
由②中PC⊥平面ABM不成立，且M为PC中点，故BP与平面ABM所成角的与BC与平面ABM所成角必不相等，故④为假命题；
故真命题有2个，
故选：B