高等数学之微积分第一题

Question

如题所述

Answer 1

1、原式=-(1/2)*∫√(1-x^2)d(1-x^2)
=-(1/3)*(1-x^2)^(3/2)+C，其中C是任意常数
2、原式=∫sin^2x*(1-sin^2x)^2*d(sinx)
=∫(sin^2x-2sin^4x+sin^6x)d(sinx)
=(1/3)*sin^3x-(2/5)*sin^5x+(1/7)*sin^7x+C，其中C是任意常数
3、原式=(1/2)*∫d(sin^2x)/(1+sin^4x)
=arctan(sin^2x)+C，其中C是任意常数
4、原式=∫tan[√(1+x^2)]*d[√(1+x^2)]
=ln|sec[√(1+x^2)]|+C，其中C是任意常数
5、令t=1/x，dx=-dt/t^2
原式=∫t/√(1/t^2-1)*(-dt/t^2)
=-∫dt/√(1-t^2)
=-arcsint+C
=-arcsin(1/x)+C，其中C是任意常数
6、令x=tant，dx=sec^2tdt
原式=∫1/sec^3t*sec^2tdt
=∫costdt
=sint+C
=x/√(x^2+1)+C，其中C是任意常数
7、令x=3sect，dx=3secttantdt
原式=∫3tant/3sect*3secttantdt
=3∫tan^2tdt
=3*∫(sec^2t-1)dt
=3(tant-t)+C
=√(x^2-9)-3arccos(3/x)+C，其中C是任意常数
8、令t=1+√(2x)，x=(t-1)^2/2，dx=(t-1)dt
原式=∫(t-1)/tdt
=∫(1-1/t)dt
=t-ln|t|+C
=1+√(2x)-ln|1+√(2x)|+C，其中C是任意常数
9、原式=(-1/2)*∫d(4-x^2)/{√(4-x^2)*[√(4-x^2)+1]
=(-1/2)*∫{1/√(4-x^2)-1/[√(4-x^2)+1]}d(4-x^2)
=-√(4-x^2)+(1/2)*∫d(4-x^2)/[√(4-x^2)+1]
令t=√(4-x^2)+1，4-x^2=(t-1)^2，d(4-x^2)=2(t-1)dt
原式=-√(4-x^2)+∫(t-1)/tdt
=-√(4-x^2)+∫(1-1/t)dt
=-√(4-x^2)+t-ln|t|+C
=-√(4-x^2)+√(4-x^2)+1-ln|√(4-x^2)+1|+C
=-ln|√(4-x^2)+1|+C，其中C是任意常数
10、原式=∫1/{e^(x/2)*[1+e^(x/2)]}dx
=∫{1/e^(x/2)-1/[1+e^(x/2)]}dx
=-2*e^(-x/2)-∫dx/[1+e^(x/2)]
令t=1+e^(x/2)，x=2ln(t-1)，dx=2/(t-1)dt
原式=-2*e^(-x/2)-∫2/t(t-1)dt
=-2*e^(-x/2)-2*∫[1/(t-1)-1/t]dt
=-2*e^(-x/2)-2ln|t-1|+2ln|t|+C
=-2*e^(-x/2)-x+2ln|1+e^(x/2)|+C，其中C是任意常数

Answer 2

Answer 3