x1,x2是矩阵A的两个不同的特征值，a1,a2是A的分别属于x1,x2的特征向量，则 k1a1+k2a2是不是A的特征向量？

Question

请具体讨论。

Answer 1

当k1，k2都不是0时不是。反证法：若k1a1+k2a2是属于某个特征值x对应的特征向量，即
A(k1a1+k2a2)=x(k1a1+k2a2)，利用条件有
k1*x1*a1+k2*x2*a1=k1*x*a1+k2*x*a2，或者
(k1*x1－k1*x)a1+(k2*x2－k2*x)a2＝0。
由于a1，a2是无关的，因此必有
k1*(x1－x)=0，k2*(x2－x)＝0。
由于k1，k2不为0，因此x1＝x2＝x。矛盾。
当k1为0时或者k2为0时，显然此时k1，k2不同时为0就是特征向量，
同时为0不是特征向量。