微积分的定义

Question

如题所述

Answer 1

微积分学 （Calculus，拉丁语意为用来计数的小石头） 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究空间的科学一样。

微积分学在科学、经济学和工程学领域有广泛的应用，用来解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行演绎。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中一般会先引入微分学。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。

微积分的主要内容

微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学。微积分的基本理论表明了微分和积分是互逆运算，牛顿和莱布尼茨发现了这个定理以后才引起了其他学者对于微积分学的狂热的研究，而这个发现也使得我们在微分和积分之间可以互相转换。这个基本理论也提供了一个用代数计算许多积分问题的方法，也就是用不定积分法取代极限运算法。该理论也可以解决一些微分方程的问题，解决未知数的积分。微分问题在科学领域无处不在。

微积分的基本概念还包括函数、无穷序列、无穷级数和连续等，运算方法主要有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数学归纳法紧密相连。

微积分被延伸到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓扑等领域。微积分的现代版本是实分析。

微分学

微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率（或微分）。换言之，计算导数的方法就叫微分学。微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率。费马常被称作“微分学的鼻祖”。

积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数,又分为定积分与不定积分。一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和，约等于函数曲线下包含的实际面积。因此，我们可以用积分来计算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等。而不定积分的用途较少，主要用于微分方程的解。
极限

微积分中最重要的概念是“极限”。微商（即导数）是一种极限。定积分也是一种极限。

从牛顿实际使用它到制定出周密的定义，数学家们奋斗了200多年。现在使用的定义是魏尔斯特拉斯于19世纪中叶给出的。

数列极限就是当一个有顺序的数列往前延伸时，如果存在一个有限数（非无限大的数），使这个数列可以无限地接近这个数，这个数就是这个数列的极限。

数列极限的表示方法是：

其中 就是极限的值。例如当 时，它的极限为 。就是说越大（越往前延伸），这个值越趋近于。

主条目：导数

我们知道在运动学中，平均速度等于通过的距离除以所花费的时间——在一小段间隔的时间内，除上其走过的一小段距离，等于这一小段时间内的速度，但是当这一小段间隔的时间趋于零，也就是瞬时速度时，则无法按照通常的除法计算，这时的速度为时间的导数，得用求导的方法计算。也就是说，一个函数的自变量趋近某一极限时，其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导数。在速度问题上，距离是时间的因变量，随时间变化而变化；当时间趋于某一极限时，距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的导数。

导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。

Answer 2

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

定义
　　设函数f(x)在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 　　a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 　　把区间[a，b]分成n个小区间 　　[x0，x1]，...[xn-1，xn]。 　　在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和 　　

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 　　
这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分本回答被网友采纳

Answer 3

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

Answer 4

设函数f(x)在[a,b]上有解，在[a，b]中任意插入若干个分点 　　a=x0<x1<...<xn-1<xn=b 　　把区间[a，b]分成n个小区间 　　[x0，x1]，...[xn-1，xn]。 　　在每个小区间[xi-1，xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，并作出和 　　

如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I， 　　这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。 　　
　
扩展阅读： http://www.ikepu.com/datebase/briefing/maths/differetial_integral_calculus.htm

Answer 5

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