矩阵A的平方等于E，可推出矩阵A的哪些性质

Question

如题所述

Answer 1

1.
A的特征值只能是1或0.
证明如下：设λ是A的任意一特征值，α是其应对的特征向量，则有Aα=λα,
于是(A^2-A)α=(λ^2-λ)α=0,
因为α不是零向量，于是只能有λ^2-λ＝0，所以λ＝1或λ=04.矩阵A一定可以对角化.
因为A-E的每一非零列都是Ax=0的解，所以A-E的每一个非零列都是λ＝0的特征向量，同理A
的每一个非零列都是λ＝1的特征向量，再由R(A)+(A-E)＝n可知矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化.
2.由A(A-E)=0可知A-E的每一列都是Ax=0的解，
类似地可以知道，A的每一列也都是(A-E)x=0的解.
3.
A^2=A,即是A^2-A=0,
即A(A-E)=0,
所以R(A)+(A-E)小于或等于n,
又因为A+(E-A)=E,所以R(A)+(A-E)＝R(A)+R(E-A)大于或等于n,于是R(A)+(A-E)＝n.

Answer 2

矩阵a的平方等于e，则矩阵a等于多少
矩阵有无数种。
比如
a=e
a=-e
a=初等矩阵也是可以的。