第1个回答 2012-06-02
若点O(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,， 则过点P的切线方程为 x0 x + y0 y + D*(x+x0)/2 + E*(y+y0)/2 + F =0 或表述为： 若点O(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上， 则过点P的切线方程为 (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2 证明： （1）（向量法） 设圆上一点A为（x0,y0),则该点与圆心O的向量OA（x0-a,y0-b) 因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0. 设直线上任意点B为(x,y) 则对于直线方向上的向量AB（x-x0,y-y0) 有向量AB与OA的点积 AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0) =（x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0) =(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2=0 故有(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2 （2）（分析-解析法） 设圆上一点A为（x0,y0),则有：(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2 对隐函数求导，则有： 2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0 dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k （隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法雷同） 或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;（k1为与切线垂直的半径斜率。） 得k=(a-x0)/(y0-b) （以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况） 所以切线方程可写为：y=(a-x0)/(y0-b)x+B 将点（x0,y0),可求出B=（x0-a)x0/(y0-b)+y0 所以: y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0 (y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0 (y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2 (y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2 当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。 此类切点有2个，不妨设为M（a-r,b);N(a+r,b) (y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2 将2点带入上式，亦成立。 故得证。
编辑本段椭圆的切线方程
若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在椭圆上， 则过点P椭圆的切线方程为 (x·x0)/a^2 + (y·y0)/b^2=1.★ 证明： 椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1,切点为(x0,y0),则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 ...(1) 对椭圆求导得y'=-b^2·x/a^2·y, 即切线斜率k=-b^2·x0/a^2·y0, 故切线方程是y-y0=-b^2·x0/a^2·y0*(x-x0),将(1)代入并化简得切线方程为x0·x/a^2+y0·y/b^2=1。
编辑本段双曲线的切线方程
若双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,点P(x0，y0)在双曲线上， 则过点P双曲线的切线方程为 (x·x0)/a^2 - (y·y0)/b^2=1..★ 此命题的证明方法与椭圆的类似，故此处略之。
编辑本段抛物线切线方程
若抛物线的方程为y^2=2px（p>0）, 点P(x0，y0)在抛物线上，则 过点P的抛物线的切线方程为 y·y0 = p·（x+x0） 此命题的证明方法亦与椭圆的类似，可设切线方程为y-b=k(x-a) 联立切线与抛物线。 y=k(x-a)+b 则 [k(x-a)+b]^2-2px=0 整理得 k^2x^2-(2k^2a+2p-2kb)x+k^2a^2+b^2-2kba=0 因为为相切，所以 △=0 则(2k^2a+2p-2kb)^2-4k^2*(k^2a^2+b^2-2kba)=0 可求得k=p/b。 代回y-b=k(x-a) y=p/b*(x-a)+b 曲线的切线方程也可以用导数求解。 微积分方法： 在M(a,b)点斜率为 求导： 2yy'=2p 代入点（a，b） 则y'=p/b 所以切线为：y=p/b*(x-a)+b