变上限积分求导？

Question

x∫(0到x)f(x-t)dt 求导 把x-t换成u 我求的是xf(u)+∫(0到x)f(u)du 请问 xf(u)是不是可以直接换成xf(x) 如果是 请问这是什么换元法

Answer 1

令x-t=u，
则dt= -du，
故∫(0到x)f(x-t)dt = -∫(x到0)f(u)du =∫(0到x)f(u)du，
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt = x ∫(0到x)f(u)du，
所以
d [x∫(0到x)f(x-t)dt] /dx
= d [ x ∫(0到x)f(u)du ] / dx
= x * d [ ∫(0到x)f(u)du ] / dx + dx/dx * ∫(0到x)f(u)du

注意在这里，变上限积分函数∫(0到x)f(u)du 对x求导的话，
求得的导数就是f(x)而不是f(u)，

因此，
d [x∫(0到x)f(x-t)dt] /dx
=x * d [ ∫(0到x)f(u)du ] / dx + dx/dx * ∫(0到x)f(u)du
=x * f(x) + ∫(0到x)f(u)du

不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题，
而是对其求导得到的就是xf(x)

Answer 2

变限积分求导公式如下：

扩展资料：

积分

设F(x)为函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分(indefinite integral)。

求导是数学计算中的一个计算方法，导数定义为:当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。

物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。

数学中的名词，即对函数进行求导，用f'(x)表示。

Answer 3

设u=x-t 则t=x-u t的上下限为0---x，所以u的上下限为x----0 ，此时dt =d(x-u)= - du
x∫(0到x)f(x-t)dt =x∫(x到0)f(u)(- du)= - x∫(0到x)f(u)( - du)= x∫(0到x)f(u)du
下面求导数得：xf(x)+)+∫(0到x)f(u)du =xf(x)+)+∫(0到x)f(t)dt

Answer 4

Answer 5